COURS   ANALYSE NUMÉRIQUE MATRICIELLE

GENERALITES - SYSTEMES LINEAIRES AX=B:METHODES DIRECTES - SYSTEMES LINEAIRES AX=B:METHODES ITERATIVES

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Généralités

Normes et rayon spectral:

 Définition norme vectorielle :

vérifiant :

-         

-         

-         

 Exemple de norme vectorielle :

-          Norme 1 :

-          Norme 2 :

-          Norme ¥ :

 Proposition :  En dimension finie, toutes ces normes sont équivalentes ; en pratique, on choisit celle qui nous arrange.

 Définition norme matricielle :

C'est une norme dans l'espace vectorielle M_n(R), avec en plus.

 Norme matricielle induite : A partir d'une norme vectorielle, on construit une norme matricielle induite : .
Notons de plus que .En particulier pour la norme 2, on a la relation :  avec le rayon spectral.

 Propriétés :

- et

-Cas de A symétrique :  

-Dans le cas général, , maximum des valeurs singulières avec les valeurs propres (positives) de la matrice symétrique. (?)

-Soit A une matrice carré quelconque n x n. Pour toutes normes de matrice induite, on a .

 Conditionnement d’une matrice inversible :

Considérons un système linéaire AX=b. L'expérience de Wilson met un évidence une instabilité des calculs dans certains cas. Si l'on modifie sensiblement les paramètres de la matrice A, ou du second membre b, on peut trouver des résultats complètement différends !